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Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle de R contenant au moins deux points.
Une fonction définie sur I est donc définie au voisinage de chacun des points de I.
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Continuité sur un intervalle
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On dit que f : I ® R est continue
sur I si f est continue en tout point de I.
Une fonction lipchitzienne sur I est continue sur I.
Démonstration
On note C(I) ou C0(I) l'ensemble des fonctions continues sur I.
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Opérations sur les fonctions continues
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C(I) est une R-algèbre.
Si f et g sont continues sur I et g ne s'annule pas sur I, alors f/g est continue sur I.
Soient I et J deux intervalles de R. Si f : I ®
J continue et g continue sur J alors gof continue sur I.
Si f continue sur I Alors | f |, f+, f- continues sur I.
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Restrictions
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Soit f continue sur I.
La restriction de f à tout intervalle J Ì I est continue sur J.
Soient aÎI qui n'est pas une extrémité de I et f définie sur I.
Si les restrictions de f à I Ç [a,+¥[ et I Ç ]-¥,a] sont continues alors f est continue sur I.
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Théorème Fondamentaux
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Soit f continue sur I.
Si a et b sont 2 points de I tels que f(a)f(b) £ 0 alors $ c Î [a,b] : f(c)=0
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f continue sur [a,b]. Toute valeur entre f(a) et f(b) est atteinte par f sur [a,b].
L'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle.
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Réciproque d'une fonction continue
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Soit f monotone sur I. Si f(I) est un intervalle alors f continue.
Si f continue strictement monotone sur I alors f induit une bijection de I sur J = f(I) et sa réciproque est continue de J sur I.
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Image continue d'un segment
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Toute application continue sur un segment possède un maximum et un minimum.
Si f continue sur [a,b] alors, f([a,b])=[m,M] où m=min[a,b](f) et M=max[a,b](f).
On peut dire encore : toute application continue sur un segment est bornée, atteint ses bornes ainsi que toutes les valeurs comprises entre celles-ci.
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Continuité uniforme
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Soit f définie sur I dans R. On dit que f est uniformément continue sur I si
"e>0, $n>0,"(x,y)ÎI | x-y | £ n Þ| f(x)-f(y) | £ e
Résultats
Si f uniformément continue alors f continue.
Une fonction lipchitzienne sur I est uniformément continue sur I.
Théorème de Heine
Soit I un segment de R.
Toute application continue sur I est uniformément continue sur I.
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Exemples :
(1) Une application constante est continue
(2) L'identité de R est continue sur R
Soit kÎR+ tel que "(x,y)ÎI²,½f(x)-f(y)½ £½x-y½
Pour e>0, on prend h=e/(k+1)>0 et on a :
"(x,y)ÎI²,½x-y½£hÞ
½f(x)-f(y)½ £ kh £ e
Les deux implications :
f lipchitzienne =>
f uniformément continue
et f uniformément continue =>
f continue
ne sont pas des équivalences
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