ESTP 1993 - Extrait

Solution
Posons v_n=n!/[(n+1)/2]ⁿ pour n entier naturel. On a v₀=1, v₁=1 et v₂=8/9
Etudions v_n+1/v_n : on a pour tout n entier naturel, v_n+1/v_n=2[(n+1)/(n+2)]ⁿ⁺¹
Considérons f(x)=2[(x+1)/(x+2)]^x+1 sur R⁺ définie dérivable sur R⁺.
Pour tout x >0, on a f'(x)=f(x).[ln[(x+1)/(x+2)]+1/(x+2)]. Comme f(x)>0, le signe de f'(x) est celui de g(x)=ln[(x+1)/(x+2)]+1/(x+2)
Pour tout x>0, g'(x)=1/[(x+1)(x+2)²] donc g est strictement croissante quand x>0 or la limite en + l'infini de g est nulle donc pour tout x>0, g(x)<0
On en déduit que f est strictement décroissante quand x>0. Et f(0)=1 donc f(x)<1
Pour tout n entier naturel non nul, f(n)<1 ie v_n+1 < v_n donc pour n>=2 v_n<=v₂=8/9<1
Donc pour tout n>=2 n!<[(n+1)/2]ⁿ
On vérifie que pour n=0 et n=1 ces deux termes sont égaux d'où finalement l'ensemble des entiers naturels privé de 0 et 1 est l'ensemble solution.